Sistemas Lineares

Um sistema pode ser entendido como um conjunto de objetos, partes ou elementos interligados ou interrelacionados, de modo que haja relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem nos vários objetos, partes ou elementos. Esta definição é abrangente e compreende todos os tipos de sistemas, não só os matemáticos, no caso vamos nos fixar nos sitemas descritos por equações lineares que serão ditos Sistemas Lineares.

Definição:

Dados os números reais (ou complexos) , com , define-se equação linear à expressão onde: são variáveis em R ou C .

Os números são chamados de coeficientes, e b é o termo independente da equação. Uma solução dessa equação é um conjunto ordenado de números não necessariamente distintos entre si, tais que:

Exemplo:

A equação 3x - 2y - z = 1 , admite o conjunto ordenado ( 1 , 1 , 0 ) como solução pois:

3 . 1 - 2 . 1 - 1 . 0 = 1

É claro que o conjunto ordenado ( 1 , 1 , 0 ) não é a única solução da equação acima, pois existem infinitas combinações de x , y e z reais (ou complexos) que atendem a equação.

Definição:

Um conjunto de m equações lineares, com n incógnitas ( m e ) é um sistema linear e apresenta-se da seguinte forma:

Uma solução deste sistema é a ênupla , ou conjunto ordenado de números

Reais (ou Complexos) que é solução de cada uma das m equações do sistema.

Exemplo:

O sistema linear:

Admite como solução ( 1 , 2 , 3 ) pois:

Mas não admite como solução ( 1 , 1 , 1 ) pois:

Classificação dos sistemas quanto ao número de soluções

Dizemos que o sistema S é possível (ou compatível) se tiver pelo menos uma solução, e impossível (ou incompatível) se S não tiver nenhuma solução.

Se o sistema for possível e tiver uma única solução, então dizemos que é possível e determinado, porém, se o sistema tiver mais de uma solução, então diremos que é possível e indeterminado.

Ou seja:

 

 

 

Exemplos:

É possível e determinado pois ( 1 , 1 ) é a única solução.

É impossível, pois ou x + y = 2 ou x + y = 1.

É possível e indeterminado, pois para " a Î C , ( a , 2 - a ) é solução do sistema.

Verificação:

Þ

Logo: para qualquer , o par ordenado ( a , 2 - a ) é solução.

 

Equivalência de Sistemas

Definição:

Dizemos que dois sistemas lineares e são equivalentes quando pode ser obtido a partir de , a partir de um número finito, das seguintes operações sobre :

1) Permutar duas equações de entre si.

2) Multiplicar uma das equações de por um número real (ou complexo) l ¹ 0 .

3) Substituir a i-ésima equação pela própria equação somada com l vezes a j-ésima equação,

sendo l ¹ 0 e i ¹ j .

Em outros termos temos:

Com : l Î R ou C , l ¹ 0 e i ¹ j .

 

Propriedade: Dois sistemas equivalentes são ambos impossíves ou possuem o mesmo conjunto solução.

 

Triangularização

Triangularização ou escalonamento de um sistema de equações, consiste num algorítmo conhecido como método de eliminação de GAUSS onde obtemos um sistema com o aspecto abaixo:

onde: e

Ou seja: Um sistema triangularizado ou escalonado é todo aquele em que o número de coeficientes iniciais nulos de cada equação é maior que o da precedente.

Antes de apresentarmos o método de eliminação de GAUSS , vamos avaliar o sistema de equações lineares, sob a óptica das matrizes.

Vamos considerar A como sendo a matriz dos coeficientes de x , conforme apresentado na definição de sistemas lineares.

Então temos:

Vamos considerar a matriz coluna como sendo a matriz das incógnitas .

Então temos:

Vamos considerar agora a matriz coluna , como sendo a matriz dos termos independentes.

Então temos:

Assim podemos escrever: A . X = B

Exemplo:

Seja o sistema linear:

As matrizes A , X e B são dadas por:

Logo: A . X = B

 

Verifique!

 

Método de Eliminação de Gauss:

Este método consiste em transformar um sistema linear da forma A . X = B em um sistema triângular ou escalonado por um meio de um número finito das seguintes operações:

1) Permutar duas equações entre si.

2) Subtrair de uma equação , outra equação multiplicada por uma constante l.

OBS.: Se ao invés de subtrair preferirmos somar, pois as linhas têm sinais trocados, o resultado não se altera.

Pela definição de sistemas equivalentes, as operações 1 e 2 não alteram o conjunto solução.

Inicialmente vamos definir a matriz completa do sistema S como sendo S :

e como forma de simplificar a apresentação do algorítmo, consideremos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas:

Vamos considerar também que det A ¹ 0 .

Para facilitar ainda mais o entendimento, vamos exemplificar numéricamente:

1º Passo

Determinar o máximo entre os elementos da coluna.

Como são todos iguais a 1 , então o máximo é o próprio 1 .

 

2º Passo

Subtrair a linha 1 das linhas 2 , 3 e 4.

 

3º Passo

Encontrar o máximo entre os elementos da coluna à partir da linha. Como são todos iguais a 1 , ou tão o máximo é o próprio 1 .

 

4º Passo

Subtrair a linha 2 das linhas 3 e 4

 

5º Passo

Encontrar o máximo entre os elementos da coluna 3 e linhas 3 e 4.

Como são iguais a 1 então o máximo é o próprio 1.

 

6º Passo

Subtrair a linha 3 da linha 4.

 

Agora que o sistema está triangularizado, podemos resolvê-lo:

 

Outro Exemplo:

Resolver o sistema:

 

 

O máximo entre os elementos da primeira coluna de S é o número 2 .

Permutando-se a com a linha de S obtemos:

Para anularmos os elementos da primeira coluna das linhas 2 e 3 vamos multiplicá-las por - 2 e somá-las a primeira linha, obtendo assim a matriz abaixo:

Agora vamos somar a linha 3 multiplicada por - 5 e somá-la a linha 2 , o resultado substituirá a linha 3 .

Como o sistema já se encontra triangularizado, vamos obter o conjunto solução:

 

O conjunto solução é x = {( - 1, 2 , 0 )}

 

Característica de uma Matriz

Seja uma matriz A , podemos obter a partir de A , uma matriz A' na forma triangularizada (ou escalonada), equivalente a matriz original A .

Denomina-se característica da matriz A como o número de linhas não nulas da matriz A'.

No sistema do exemplo anterior o número de linhas não nulas de A' é igual a 3 , logo a característica da matriz A é igual a 3 .

 

Teorema de Rouché-Capelli

Seja um sistema linear S , com uma matriz completa C e uma matriz incompleta A , este sistema S será possível se, e somente se, as características das matrizes completa C e incompleta A forem iguais.

Vamos adotar p e q como características das matrizes: completa C e incompleta A . Então temos:

S é possível Û p = q

Ou seja, caso encontremos, durante o processo de triangularização, uma equação do tipo:

Com ¹ 0

Então o sistema será impossível e teremos p ¹ q pois na matriz A teremos uma linha com todos elementos nulos, enquanto em C teremos uma linha com um único elemento diferente de zero , .

 

Do teorema de Rouché-Capelli, concluímos que:

p = q Û sistema possível

p ¹ q Û sistema impossível

Onde:

p é a característica da matriz completa.

q é a característica da matriz incompleta.

Seja agora n o número de incógnitas do sistema, vamos analisar o que acontece com o sistema se p for igual a q , ou seja, se o sistema for possível.

Se p = q = n então o sistema será possível e determinado pois temos o mesmo número de equações e incógnitas. Porém, se p = q < n teremos um sistema possível e indeterminado pois temos mais incógnitas do que equações e denominamos n - p como números de variáveis livres ou grau de indeterminação do sistema ( GI ).

Resumindo:

 

Exemplo:

Classificar e resolver os sistemas abaixo:

1)

 

Triangularizando C temos:

 

 

Þ

Temos que p = 3 e q = 2 Þ p ¹ q

Logo: o sistema é impossível Þ.

 

2)

 

Triangularizando C temos:

 

p = 3 e q = 3

Mas n = 3 (três incógnitas) então S é possível e determinado. Resolvendo o sistema a partir da matriz triangularizada temos:

z = 3 ; y - 3 = - 1 Þ y = 2

x + 2 + 6 = 9 Þ x = 1

S = {( 1 , 2 , 3 )}

 

3)

 

Triangularizando C temos:

 

Þ

p = q = 2 e n = 3

p = q < n Þ sistema possível e indeterminado

GI = n - p = 3 - 2 = 1

Vamos considerar z como variável livre igual a e vamos resolver o sistema a partir da matriz triangularizada.

Como z = a temos:

y - a = - 2 Þ y = a - 2

x + a - 2 + a = 4 Þ x = 6 - 2.a

Assim: S = {(6 - 2.a) , (a - 2) , a )}

 

Regra de Cramer

Em primeiro lugar apresentaremos algumas definições necessárias ao perfeito entendimento do que será apresentado a seguir.

Definição:

Seja a matriz A = [] de ordem e seja o cofator de . A matriz dos cofatores de A indicada por Cof A é a matriz de ordem n cujo elemento da linha i e coluna j é , ou seja, o cofator de em A .

Então:

Define-se Matriz Adjunta de A , indicada por Adj A como a metriz transposta de Cof A ou seja:

Exemplo:

Calcular Cof A e Adj A para a matriz abaixo:

 

= 2

= - 2

= 6

= 8

= - 24

= 8

= 7

= 7

= - 5

 

Cof A =

 

Adj A =

Proposição:

Uma matriz quadrada de ordem tal que det A ¹ 0 é inversível e sua inversa é dada por:

Exemplo:

Seja a matriz A do exemplo anterior, calcular

det A = - 4 + 14 + 28 - 6 = 32

=

 

Regra de Cramer

Seja o sistema linear de equações S :

que na forma matricial pode ser representado por A . X = B com det A ¹ 0.

Então: X = . B

X = . (Adj A) . B pela proposição anterior.

 

Assim podemos obter X a partir de A e B

= ´

 

=

Mas o termo é o determinante da matriz:

=

desenvolvido pela k-ésima coluna, obtida pela substituição da k-ésima coluna de A pela coluna B.

Agora podemos expressar em função de e A :

onde k = 1, 2, ...... n

A expressão acima fornece a solução de A . X = B desde que A seja inversível (det A ¹ 0) é conhecida como Regra de Cramer.

Exemplo:

Resolver o sistema S pela regra de Cramer.

 

 

A = Þ det A = 24 + 2 - 3 - 4 - 2 Þ det A = 17

 

= Þ det = 0 + 1 + 5 - 3 - 20 Þ det = - 17

 

= Þ det = 40 + 1 - 5 - 2 Þ det = 34

= Þ det = 6 + 5 - 10 - 1 Þ det = 0

 

Então:

Þ x = - 1

Þ y = 2

Þ z = 0

 

Sistemas Lineares Homogêneos

Um sistema linear se diz homogêneo se os termos independentes de todas equações forem iguais a zero, isto é, o sistema tem a forma:

Todo sistema linear homogêneo admite a solução (0, 0, ....., 0) isto é, = 0 " i Î N , que é denominada de solução trivial, ou nula, ou imprópria.

Um sistema linear homogêneo pode ser:

Possível e Determinado Þ Solução trivial é única.

Ou

Possível e Indeterminado Þ Solução trivial mais infinitas soluções.

Caso o sistema homogêneo S apresente o número de equações igual ao número de incógnitas, ele apresentará a matriz A quadrada e teremos:

det A ¹ 0 Û S é possível e determinado

det A = 0 Û S é possível e indeterminado

 

Exemplo:

Verificar se o sistema S abaixo, possui solução não trivial.

Vamos calcular o determinante de A:

det A = 24 - 72 = - 48

Como det A ¹ 0 Û S é possível e determinado

Portanto S admite somente a solução trivial.

Ao longo deste capítulo foram explorados 2 métodos de resolução de sistemas lineares de equações, porém o uso prático das duas ferramentas indica que o método da triangularização ou escalonamento é muito mais rápido que o de Cramer , principalmente quando temos que resolver sistemas de ordem .

     


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