Sistemas Lineares
Um sistema pode ser entendido como um conjunto de objetos, partes ou elementos interligados ou interrelacionados, de modo que haja relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem nos vários objetos, partes ou elementos. Esta definição é abrangente e compreende todos os tipos de sistemas, não só os matemáticos, no caso vamos nos fixar nos sitemas descritos por equações lineares que serão ditos Sistemas Lineares.
Definição:
Dados os números reais (ou complexos) 
, com 
, define-se equação
linear à expressão 
onde:
são variáveis em
R ou C .
Os números 
são
chamados de coeficientes, e b
é o termo independente da equação. Uma solução
dessa equação é um conjunto ordenado de
números
não necessariamente distintos entre
si, tais que:
Exemplo:
A equação 3x - 2y - z = 1 , admite o conjunto ordenado ( 1 , 1 , 0 ) como solução pois:
3 . 1 - 2 . 1 - 1 . 0 = 1
É claro que o conjunto ordenado ( 1 , 1 , 0 ) não é a única solução da equação acima, pois existem infinitas combinações de x , y e z reais (ou complexos) que atendem a equação.
Definição:
Um conjunto de m equações
lineares, com n incógnitas
( m e
) é um sistema
linear e apresenta-se da seguinte forma:
Uma solução deste sistema é a ênupla , ou conjunto ordenado de números
Reais (ou
Complexos) que é solução de cada uma das
m equações
do sistema.
Exemplo:
O sistema linear:
Admite como solução ( 1 , 2 , 3 ) pois:
Mas não admite como solução ( 1 , 1 , 1 ) pois:
Classificação dos sistemas quanto ao número de soluções
Dizemos que o sistema S é possível (ou compatível) se tiver pelo menos uma solução, e impossível (ou incompatível) se S não tiver nenhuma solução.
Se o sistema for possível e tiver uma única solução, então dizemos que é possível e determinado, porém, se o sistema tiver mais de uma solução, então diremos que é possível e indeterminado.
Ou seja:
Exemplos:
É possível e determinado pois ( 1 , 1 ) é a única solução.
É impossível, pois ou x + y = 2 ou x + y = 1.
É possível e indeterminado, pois para " a Î C , ( a , 2 - a ) é solução do sistema.
Verificação:
Þ
Logo: para qualquer , o par ordenado ( a , 2 - a ) é solução.
Equivalência de Sistemas
Definição:
Dizemos que dois sistemas lineares 
e 
são equivalentes quando pode ser obtido a partir de , a partir de um número finito, das
seguintes operações sobre
:
1) Permutar duas equações
de entre si.
2) Multiplicar uma
das equações de por
um número real (ou complexo) l
¹ 0 .
3) Substituir a i-ésima equação
pela própria equação
somada com l vezes a j-ésima equação,
sendo l
¹ 0
e i ¹
j .
Em outros termos temos:
Com : l Î R ou C , l ¹ 0 e i ¹ j .
Propriedade: Dois sistemas equivalentes são ambos impossíves ou possuem o mesmo conjunto solução.
Triangularização
Triangularização ou escalonamento de um sistema de equações, consiste num algorítmo conhecido como método de eliminação de GAUSS onde obtemos um sistema com o aspecto abaixo:
onde: 
e 
Ou seja: Um sistema triangularizado ou escalonado é todo aquele em que o número de coeficientes iniciais nulos de cada equação é maior que o da precedente.
Antes de apresentarmos o método de eliminação de GAUSS , vamos avaliar o sistema de equações lineares, sob a óptica das matrizes.
Vamos considerar A como sendo a matriz dos coeficientes de x , conforme apresentado na definição de sistemas lineares.
Então temos:
Vamos considerar a matriz coluna 
como
sendo a matriz das incógnitas 
.
Então temos:
Vamos considerar agora a matriz coluna 
,
como sendo a matriz dos termos independentes.
Então temos:
Assim podemos escrever: A . X = B
Exemplo:
Seja o sistema linear:
As matrizes A , X e B são dadas por:
Logo: A . X = B
Verifique!
Método de Eliminação de Gauss:
Este método consiste em transformar um sistema linear da forma A . X = B em um sistema triângular ou escalonado por um meio de um número finito das seguintes operações:
1) Permutar duas equações entre si.
2) Subtrair
de uma equação ,
outra equação 
multiplicada
por uma constante l.
OBS.: Se ao invés de subtrair preferirmos somar, pois as linhas têm sinais trocados, o resultado não se altera.
Pela definição de sistemas equivalentes, as operações 1 e 2 não alteram o conjunto solução.
Inicialmente vamos definir a matriz completa do sistema S como sendo S :
e como forma de simplificar a apresentação do algorítmo, consideremos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas:
Vamos considerar também que det A ¹ 0 .
Para facilitar ainda mais o entendimento, vamos exemplificar numéricamente:
1º Passo
Determinar o máximo entre os elementos da 1ª coluna.
Como são todos iguais a 1 , então o máximo é o próprio 1 .
2º Passo
Subtrair a linha 1 das linhas 2 , 3 e 4.
3º Passo
Encontrar o máximo entre os elementos da 2ª coluna à partir da 2ª linha. Como são todos iguais a 1 , ou tão o máximo é o próprio 1 .
4º Passo
Subtrair a linha 2 das linhas 3 e 4
5º Passo
Encontrar o máximo entre os elementos da coluna 3 e linhas 3 e 4.
Como são iguais a 1 então o máximo é o próprio 1.
6º Passo
Subtrair a linha 3 da linha 4.
Agora que o sistema está triangularizado, podemos resolvê-lo:
Outro Exemplo:
Resolver o sistema:
O máximo entre os elementos da primeira coluna de S é o número 2 .
Permutando-se a 1ª com a 2ª linha de S obtemos:
Para anularmos os elementos da primeira coluna das linhas 2 e 3 vamos multiplicá-las por - 2 e somá-las a primeira linha, obtendo assim a matriz abaixo:
Agora vamos somar a linha 3 multiplicada por - 5 e somá-la a linha 2 , o resultado substituirá a linha 3 .
Como o sistema já se encontra triangularizado, vamos obter o conjunto solução:
O conjunto solução é x = {( - 1, 2 , 0 )}
Característica de uma Matriz
Seja uma matriz A , podemos obter a partir de A , uma matriz A' na forma triangularizada (ou escalonada), equivalente a matriz original A .
Denomina-se característica da matriz A como o número de linhas não nulas da matriz A'.
No sistema do exemplo anterior o número de linhas não nulas de A' é igual a 3 , logo a característica da matriz A é igual a 3 .
Teorema de Rouché-Capelli
Seja um sistema linear S , com uma matriz completa C e uma matriz incompleta A , este sistema S será possível se, e somente se, as características das matrizes completa C e incompleta A forem iguais.
Vamos adotar p e q como características das matrizes: completa C e incompleta A . Então temos:
S é possível Û p = q
Ou seja, caso encontremos, durante o processo de triangularização, uma equação do tipo:
Com 
¹ 0
Então o sistema será impossível e teremos
p ¹ q
pois na matriz A teremos
uma linha com todos elementos nulos, enquanto em C teremos uma linha com um único
elemento diferente de zero ,
.
Do teorema de Rouché-Capelli, concluímos que:
p = q Û sistema possível
p ¹ q Û sistema impossível
Onde:
p é a característica da matriz completa.
q é a característica da matriz incompleta.
Seja agora n o número de incógnitas do sistema, vamos analisar o que acontece com o sistema se p for igual a q , ou seja, se o sistema for possível.
Se p = q = n então o sistema será possível e determinado pois temos o mesmo número de equações e incógnitas. Porém, se p = q < n teremos um sistema possível e indeterminado pois temos mais incógnitas do que equações e denominamos n - p como números de variáveis livres ou grau de indeterminação do sistema ( GI ).
Resumindo:
Exemplo:
Classificar e resolver os sistemas abaixo:
1) 
Triangularizando C temos:
Þ
Temos que p = 3 e q = 2 Þ p ¹ q
Logo: o sistema é impossível Þ
.
2)
Triangularizando C temos:
p = 3 e q = 3
Mas n = 3 (três incógnitas) então S é possível e determinado. Resolvendo o sistema a partir da matriz triangularizada temos:
z = 3 ; y - 3 = - 1 Þ y = 2
x + 2 + 6 = 9 Þ x = 1
S = {( 1 , 2 , 3 )}
3) 
Triangularizando C temos:
Þ
p = q = 2 e n = 3
p = q < n Þ sistema possível e indeterminado
GI = n - p = 3 - 2 = 1
Vamos considerar z como variável livre igual a e vamos resolver o sistema a partir da matriz triangularizada.
Como z = a temos:
y - a = - 2 Þ y = a - 2
x + a - 2 + a = 4 Þ x = 6 - 2.a
Assim: S = {(6 - 2.a) , (a - 2) , a )}
Regra de Cramer
Em primeiro lugar apresentaremos algumas definições necessárias ao perfeito entendimento do que será apresentado a seguir.
Definição:
Seja a matriz A = [
] de ordem
e seja 
o cofator de . A matriz dos cofatores de A indicada por Cof A é a matriz de ordem n cujo elemento da linha i e coluna j
é , ou seja, o cofator de em A
.
Então:
Define-se Matriz Adjunta de A , indicada por Adj A como a metriz transposta de Cof A ou seja:
Exemplo:
Calcular Cof A e Adj A para a matriz abaixo:
= 2
= - 2
= 6
= 8
= - 24
= 8
= 7
= 7
= - 5
Cof A =
Adj A =
Proposição:
Uma matriz quadrada de ordem
tal que det A ¹ 0
é inversível e sua inversa é dada por:
Exemplo:
Seja a matriz A do exemplo anterior, calcular 
det A = - 4 + 14 + 28 - 6 = 32
Regra de Cramer
Seja o sistema linear de equações S :
que na forma matricial pode ser representado por A . X = B com det A ¹ 0.
Então: X = . B
X =
. (Adj A) . B pela proposição anterior.
Assim podemos obter X a partir de A e B
=
´
Mas o termo 
é o determinante
da matriz:
=
desenvolvido pela k-ésima coluna, obtida pela substituição da k-ésima coluna de A pela coluna B.
Agora podemos expressar 
em função de
e A :
onde k = 1,
2, ...... n
A expressão acima fornece a solução de A . X = B desde que A seja inversível (det A ¹ 0) é conhecida como Regra de Cramer.
Exemplo:
Resolver o sistema S pela regra de Cramer.
A =
Þ det A = 24 + 2 - 3 - 4 - 2 Þ det A = 17
=
Þ det
=
Þ det
=
Þ det
Então:
Þ x = - 1
Þ y = 2
Þ z = 0
Sistemas Lineares Homogêneos
Um sistema linear se diz homogêneo se os termos independentes de todas equações forem iguais a zero, isto é, o sistema tem a forma:
Todo sistema linear homogêneo admite a solução
(0, 0, ....., 0) isto é,
=
0 " i Î
N , que é
denominada de solução trivial, ou nula, ou imprópria.
Um sistema linear homogêneo pode ser:
Possível e Determinado Þ Solução trivial é única.
Ou
Possível e Indeterminado Þ Solução trivial mais infinitas soluções.
Caso o sistema homogêneo S apresente o número de equações igual ao número de incógnitas, ele apresentará a matriz A quadrada e teremos:
det A ¹ 0 Û S é possível e determinado
det A = 0 Û S é possível e indeterminado
Exemplo:
Verificar se o sistema S abaixo, possui solução não trivial.
Vamos calcular o determinante de A:
det A = 24 - 72 = - 48
Como det A ¹ 0 Û S é possível e determinado
Portanto S admite somente a solução trivial.
Ao longo deste capítulo foram explorados 2 métodos de resolução
de sistemas lineares de equações, porém o uso prático
das duas ferramentas indica que o método da triangularização
ou escalonamento é muito mais rápido que o de Cramer
, principalmente quando temos que resolver sistemas de ordem 
.
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